今天是 3 月 3 日, 恰好是發明電話的貝爾的生日, 所以今天我們來談以貝爾的姓氏命名的單位, Bel 以及 decibel(分貝或 dB)。剛開始接觸數位訊號處理或是通訊領域, 最常令人困惑的就是 dB 這個玩意兒, 它既不是一個單位, 也不怎麼直覺, 接下來就讓我們來看看這玩意兒吧。
分貝(dB, or decibel) 當初是拿來描述量測的電話線訊號衰減量, 在 1928 年貝爾系統公司（貝爾電報電話公司的相關企業）把原本使用的 Transmission Unit(TU) 改名為 decibel, 並且增加 Bel(1 Bel = 10 decibel), 用來紀念發明電話的貝爾(Alexander Graham Bell, March 3, 1847 – August 2, 1922),1 文章發布的今天剛好是他的生日。
分貝是拿來描述衰減量的, 只是一個相對單位而已, 就像一般講的數量級一樣, 一個數量級代表的是十倍, 而 1 Bel 就是 10 dB, 是由以 10 為基底的對數函數產生:
\begin{equation} L_{dB} = 10~\log_{10} \frac{P_1}{P_2} \end{equation}要先記住上述衰減量是拿來描述功率衰減的, 我們也可以用 dB 描述振幅的衰減量, 而初學者很容易搞混計算功率以及振幅衰減的分貝公式。
功率:
\begin{equation} L_{dB} = 10~\log_{10} \frac{P_1}{P_2} \end{equation}振幅（如電壓、電流、聲壓）:
\begin{equation} L_{dB} = 20~\log_{10} \frac{A_1}{A_2} \end{equation}只要先記得分貝都是計算功率的公式, 再利用電路的基本公式: \(P=IV=\frac{V^2}{R}\), P 為功率, I 為電流, V 為電壓, R 為電阻, 那麼:
\begin{equation} L_{dB} = 10~\log_{10} \frac{P_1}{P_2} = 10~\log_{10} \frac{V_1^2}{V_2^2} = 20~\log_{10} \frac{V_1}{V_2} \end{equation}而大部分功率都是振幅的平方倍, 所以都可以得到上述的式子, 因此振幅計算公式前面的常數是 20。
當倍數轉換成分貝讓乘法轉換成加法, 除法轉換成減法, 使得運算更為簡單, 其數值也不容易超過能夠表示的範圍。例如接收機的情況, 從發射機一路到接收機的各級增益, 按照順序列表:
- 發射機 \(P_{TX} = 1W = 10\log_{10} \frac{1W}{1mW} = 10\log_{10} 1000 = 30 dBm\)
- 發射天線增益 \(G_{TXANT} = 10 dBi\), 或 10 倍
- 空氣中衰減 \(ATT_{channel} = -60 dB\), 或 1/1000000 倍
- 接收機天線增益 \(G_{RXANT} = 10 dBi\), 或 10 倍
- 接收機 LNA 增益 \(G_{RX} = 20 dB\), 或 10 倍
計算各級增益, 以 dB 來計算，只要算
\begin{equation} RSSI_{dB} = P_{TX} + G_{TXANT} + ATT_{channel} + G_{RXANT} + G_{RX} = 30 + 10 - 60 + 10 + 20 = 10 dBm \end{equation}而用倍數來計算則會是這樣:
\begin{equation} RSSI = 1 * 10 / 1000000 * 10 * 10 = 0.001 \end{equation}可以看出用倍數算會出現動態範圍比較大的整數或小數, 而 dB 值只要加加減減就出來了, 這在浮點運算的時候看不出好處, 但在定點運算上可以看出來上述的例子, dB 的計算只要給有號整數部分 8 個位元即可表示, 而線性尺度(linear scale, 也就是上述所稱的倍數) 的計算則會做到超過 20 位元的除法。
除了運算上會變得動態範圍變小以外, dB 公式中的對數函數也有將比較小的數值變化放大並將比較大的數值變化縮小的功用。
Figure 1: 線性尺度
Figure 2: dB 尺度
可以看得出來 320kHz 以下的變化原本在線性尺度看不太出來, 但在 dB 尺度看出來上下變化範圍有 10 dB 的大小, 這對訊號來說已經算是不小的影響。而線性尺度看起來差異很大（一半）的 400kHz 到 900kHz 的範圍, 在 dB 尺度上只有 4 dB 左右, 320kHz 變化 10 dB 在這個例子中, 因為那不是我們要的訊號, 所以影響不大, 但若發生在我們想要的頻譜上, 線性尺度可能就會看不太出來, 這個是 dB 尺度的優點。
以上就是對於 dB 簡單的介紹, 那麼我們常常看到 dB 後面還加上一些字母, 那是什麼意思呢？我們來看一些常用的 dB 家族。
分貝後面如果加上了其他的字母, 代表分母的參考量, 就會從相對值變成絕對值。
- dBm 代表分母是 1mW, 所以 \(dBm = 10~\log_{10} \frac{P}{1mW}\)
- dBW 代表分母是 1W, 所以 \(dBW = 10~\log_{10} \frac{P}{1W}\)
如果是分貝後面加上其他字母, 但是該字母被括號刮起來, 是代表訊號的種類。
- dB(A) 代表聲壓, 是一個絕對單位, 參考訊號位準是 \(20~\mu~Pa\),2 是人耳所能聽到的下限, 又因為聲音是振幅, 所以計算公式為：
聲音用 dB 來表示是因為耳朵對於壓力變化大小是對數級的, 至於頻率變化也有類似的關係, 因此對於噪音計算定義了 octave band filter, 每一個 octave band 的中心頻率是下一個 band 的 2 倍或 1/2。3
dBi 是用來描述天線增益, 定義是最大的波束相對於理想均勻球體輻射樣式(isotropic) 的增益。
dBm/Hz 則是拿來描述功率密度(power spectral density), 意思就是每 1 Hz 所含的功率, 如果你有功率密度 -30 dBm/Hz, 在 10 MHz 寬度上都是平坦的, 其他地方的數值都小到可以忽略, 那麼總發射功率就是 \(-30 + 10 \log_{10} {10 \times 10^6} = 40 dBm = 10W\)
我們描述 SNR(訊雜比) 的時候也常常用 dB 來描述, 大部分的接收機, 比如說 Wifi, Bluetooth, LTE, WCDMA 等等都會顯示 SNRdB, 而筆者常常看到有人引用這個 SNR 值的時候, 忘記加上 dB, 這樣會造成非常大的誤解與巨大的差異, 舉例來說, 如果 SNR 是 60 dB, 而引用的時候說 SNR 是 60, 那麼這個意思就是 \(\frac{P_{signal}}{P_{noise}} = 60\) 了, 而 \(60~dB = 10^{\frac{60}{10}} = 1000000\), 差距有 \(\frac{1000000}{60} = 16666.7\), 有上萬倍的差異啊！筆者知道分貝對初學者來說, 是個不容易搞懂的數量, 因此寫了這篇文章, 希望大家在接觸訊號與通訊領域的時候, 看到 dB4 能夠不再那麼陌生。